Matemaatika:Gümnaasium/Kordamine eksamiks/Logaritm- ja eksponentfunktsioonid

Valemid

$a^c=b\iff c=lo{g}_{a}b;a>0;a\ne 1;b>0$

$\begin{array}{c}{a}^{lo{g}_{a^b}}=b\\ lo{g}_{a}1=0\\ lo{g}_{a}a=1\end{array}$

$lo{g}_{b}c=\frac{lo{g}_{a}c}{lo{g}_{a}b}$

$\begin{array}{c}lo{g}_a{b}^n=nlo{g}_{a}b\end{array}$, kui b>0

$\begin{array}{c}lo{g}_a(bc)=lo{g}_{a}b+lo{g}_{a}c\end{array}$, kui b>0 ja c>0

$lo{g}_a\frac{b}{c}=lo{g}_{a}b-lo{g}_{a}c$, kui b>0 ja c>0

Näited

Arvuti pahavara "Dx2" dubleerib ennast 7 sekundi tagant. Mitme minuti pärast on pahavara "Dx2" ennast üle miljoni suutnud paljundada, kui neid on arvutis juba 2 tükki? Vastus anda kümnendkohta täpsusega.

$2^x>1000000$

$a^b=c\Rightarrow b=lo{g}_{a}c\Rightarrow b=\frac{lo{g}_{10}c}{lo{g}_{10}a}$

$x>\frac{lo{g}_{10}1000000}{lo{g}_{10}2}\Rightarrow x>\frac{6}{0,30102999566}\Rightarrow x>19,931568569324$

x * 7 sekundit = aeg

aeg = 19,931568569324 * 7 sekundit =~ 139,5 sekundit = 2,3 minutit

Vastus: Pahavara on ennast suutnud paljundada 2,3 minuti jooksul üle miljoni.

Ülesanded

Leia x

1) $3^x=\frac{1}{81}$

2) $10^x=81$

3) ${\log }_{x}27=3$

4) $\ln x=-2\ln 3$

5) $2^x=5\cdot 3^x$