Matemaatika:Gümnaasium/Kordamine eksamiks/Tõenäosusteooria ja kirjeldav statistika

Valemid

Kombinatoorika valemid

$V_n^m=n\ast (n-1)\ast (n-2)\ast \dots \ast (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$

$C_n^m=\frac{V_n^m}{P_m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

$\begin{array}{c}n!=n(n-1)\ast (n-2)\ast \mathrm{...}\ast 2\ast 1\end{array}$

$C_n^m=C_n^{n-m}$

$\begin{array}{c}0!=1\\ 1!=1\\ P_n=n!\end{array}$

Bernoulli valem

$P(X=k)=P_{n,k}=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$, kus

n -katsete arv,

k -sündmuste esiletuleku arv,

p -sündmuste esiletuleku tõenäosus ühel katsel

q=1-p

Aritmeetiline keskmine

$\overline{x}=\frac{x_1{f}_1+x_2{f}_2+\dots +x_m{f}_m}{n}$, kus f₁+f₁+...f_n=n

Dispersioon

${\sigma }^2=\frac{(x_1-\overline{x}{)}^2{f}_1+(x_2-\overline{x}{)}^2{f}_2+\dots +(x_m-\overline{x}{)}^2{f}_m}{n}$

Standardhälve

$\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}$

Näited

Peeter hakkab viskama vabaviskeid, tal on antud 10 viset. Tõenäosus, et Peeter sisse viskab on 42%. Leidke tõeonäosus, et Peeter tabab 8 viset kümnest.

$P(X=k)=P_{n,k}=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$ Asendame ülesande tingimustest

n=10

k=8

p=0,42

q=0,58

$C_{10}^8=\frac{10!}{2!\ast 8!}=\frac{10\ast 9\ast 8!}{2\ast 8!}=\frac{10\ast 9}{2}=45$

$P(X=8)=P_{10,8}=C_{10}^8\ast 0,42^8\ast 0,58^{10-8}=0,0146575985921745408\approx 1,466\mathrm{\%}$

Vastus: Tõenäosus, et Peeter tabab 10'st viskest 8 on 1,466%.

Ülesanded

1. Peetri klassis on 32 õpilast. Leia tõenäosus, et Peeter võib sõpra Jaani koolis kohata, kui täna tuli kooli 17 õpilast ja Peeter.
2. Peetril on 3 erivärvilist vildikat - sinine, punane ja roheline. Leia tõenäosus, et Peeter joonistas pildi sinise vildikaga, kui enne joonistamist laenas Jaan temalt ühe vildika.
3. Milline on Jaapani matemaatikaristsõna "Sudoku" erinevate lauakombinatsioonide arv?